胡全勇、童永奇——学好高中数学的三字秘诀：背，悟，练
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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学好高中数学的三字秘诀
背，悟，练
胡全勇 西北师大育才学校730000
童永奇 陕西省西安市临潼区马额中学710609
从事高中数学教学已经三十多年，并且教出了一些高材生（高考数学满分和数人考入清北），但是对于如何让高中生轻松愉快地学好数学，时时感到一筹莫展.众所周知，初中数学只要练熟，就能得高分，但是高中数学只靠“刷题”还是远远不够的，全国名师葛军老师也不赞成，无谓“刷题”.根据教学经验，本人总结了学好高中数学的三字诀：背，悟，练.
先说说“背”
一是要在理解的基础上，灵活记忆，可起到巧“背”的目的.要背定义、定理、公理、公式和一些常用的二级结论，只有将这些基础知识烂熟于心，才能在解题的时候想起要用的东西，反过来做题的过程也是对这些基础加深理解的过程.如2016年全国高考二卷的第12题的条件为f(x)=2-f(-x)，如果不熟悉下面的二级结论“对于函数f(x)，如果满足f(a+x)+f(a-x)=2b（即f(2a-x)+f(x)=2b），则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称”，那么就不知道该题的题意是已知函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，导致不会灵活运用函数图象的对称性去完美的解决问题，只能靠“蒙”.
二是要“背”每个知识点的命题方向常有哪些，并梳理出解决各类题型的常用方法.这样做虽然看起来有点死板，但是有助于培养学生归纳总结的能力，不然遇到每个题目都是新问题，需要重新思考，这样就浪费了时间.由于高考数学仅有120分钟，所以要考出好成绩，绝对不能浪费每一分钟.例如：在解三角形问题中，如果已知三角形的一边及其对角，那么目标问题的设置常有两类：一类是求三角形的面积的最大值（详见例1）；另一类是求解与边有关的问题（详见例2）.
例1（2013年高考数学全国II卷理科第17题）
例2（2020年高考数学全国II卷理科第17题）
一般地，与边长有关的问题，还有如求2b-c,b2+c2等的取值范围，都是采用正弦定理转化为三角函数问题讨论比较方便。
三是要“背”一些题型的常用解题方法和技巧.要考出好成绩，既要做“学霸”，又要做“考霸”.全国名师四川代尔宁老师说：他和一些高考命题人交谈过，一些高考题，尤其是选择题和填空题基本上都会有其独特的解题法。基于此，教师在解题教学过程中，既要教给学生常用的通性通法，又要有意识地去引导学生掌握一些解题的高招妙法，这样不但让学生牢固掌握了基础知识，又启迪开发了学生的智力，同时可以提高学生处理非解答题的速度与准确性.诚如此，我们何乐而不为呢？！
方法2（秒杀法）一眼就得A选项。当出现秒杀时同学们一脸蒙圈，发出惊叹，那么怎么做到秒杀？因为从式子结构看很显然是先运用正弦定理变为“边”的形式，再运用余弦定理求角度.在余弦值的表达式中，如果不含根式，那么角度不是60°就是120°；如果含有√2，那么角度不是45°就是135°；如果含有√3，那么角度不是30°就是150°.据此，结合题设已知等式中含有√3，而选项中没有150°，易知选A.这样，利用内在规律可轻松做到“秒”杀，这就是技巧！
再谈谈“悟”
初中数学一般情况下都是已知条件和要求结论非常明确，只要功底扎实，解答问题一般不会出错；但是高中数学的已知条件和要求的结论有的非常隐蔽，需要自己“悟”.
剖析：这道题是一道非常简单的题目，但出错率不低，就是没有“悟”出隐含条件：若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0).许多学生只考虑奇函数的图象关于原点对称，而得到2个零点，故选B，这一错误答案.实际上，本题应该选C.
上面两道题表面上函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)成中心对称，函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称，但是通过反思得出它们实际上是一回事，均表示函数f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)为奇函数.进一步提炼可给出其隐藏的具有一般性的内在规律：函数f(x+a)的图象关于点(-a,0)中心对称等价于函数f(x)为奇函数.这就是我们“悟”出的道理，可见反思的重要性！温馨提示：各位莘莘学子，如果你们题做了几大箩筐，但是学习进步不大，那么问题就是只做题，追求刷题量，不反思，使得事倍功半.
最后聊聊“练”
要学好数学，做练习题，必须有一定的量，不是练得越多越好.实际上，我们做一道题的真正目的是不再做这类题，做会了没有必要反复再做.要练，必须努力做到以下点.
一是要规范.数学学科自身特点要求严谨、规范、准确，而许多学生平时练题，为了赶时间而随便做题，久而久之养成了不严谨、不规范的习惯，导致在考试中处理解答题时失分较多.因此，我们平时练习一定要规范完成，养成良好习惯，打好扎实的数学基本功.
二是要归类.古人云：学而不思则罔，思而不学则殆，可见归类总结在学习过程的重要性.学习数学如果只练不总结，这样学的很累，效果一定不佳，只要在学习的过程中不断总结，才可以迅速提高学习效率，提升解题能力.如函数中有一类关于“任意”和“存在”的问题，这类问题常常体现为“相等”和“不相等（即大于或小于）”问题.通过归类，可用自己的语言总结出解法.如，相等问题可归纳总结为：任意的值域包含于存在之中（详见例7）；不等式问题可归纳总结为：都是任意处理，再将存在改写为其对立面（详见例8）.
显然，通过以上归纳总结，降低了处理此类问题的难度，并且使学生轻松掌握，达到事半功倍之效.
三是要纠错.会学习的同学，基本上都有个错题本.同学们在做数学练习题时，只注重做新的练习题，而忽略反思平时做错的题目，好多同学跟本没有记错题的习惯.实际上，将易错问题利用错题本记录下来，经常演练，反复思考，可以有效避免以后再出现类似的错误！
错因探究：虽然细心、认真，但还没有达到足够的细心、认真——没有充分利用一个三角形为锐角三角形的充要条件.
反思感悟:(1)本题极易出错，不但要对cosA+sinC准确变形，而且最为关键的是要准确分析内角的取值范围.
(2)利用△ABC为锐角三角形的充要条件是不等式0<A<π/2, 0<B<π/2, 0<C<π/2,同时成立，可深度挖掘隐含条件.
易错分析：第一问比较简单，通过求导分析函数的单调性，即可求得函数的最小值.现在关键看第二问.如果这样做：注意到求证式左边各加项的结构相同，于是先构造函数g(x)=1/(1+x2),0<x<1，再利用其单调性放缩，但因放缩过大导致不能解决目标问题.
当然，还可以考虑其他的思路：先消元再放缩；或者对求证式中的“1”先利用题设条件作等量代换，再实施放缩；等等.但最终均因没有彻底解决目标问题，而深感无奈！
反思感悟：
(1)本题第二问，大部分同学的思路可能都是直接针对该问具体分析的，而没有注意到考虑第一问与第二问之间的紧密联系，即缺乏灵活运用“联系”的观点去分析、解决问题的思想意识. 最终，导致第二问不能顺利获证，认为较难.
(2)由于许多数学解答题设计多问的目的就是降低试题的难度，而各问之间又往往存在着某种紧密的联系，因此将“联系”的观点灵活运用于解题中，往往能够出奇制胜，将问题简捷、明了地解决.
诚然，高中数学与初中数学相比，无论从梯度、难度上看都有很大的变化，初中数学突出“练”，而高中数学突出“悟”.只要方法得当，就会化难为易.最后，利用《解题卡壳怎么办》书中的一句话做为结束语：“没有理解的练习是白练，越练越累；没有练习的理解是空想，越想越空”.
【参考文献】
1.胡全勇，专著《高考数学高频考点及题型分类解析》,2015.
2.童永奇，解题反思 提升能力[J]，第二课堂（A）,2014,（09）.
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